Symmetrie von Polynomen (Artikel) | Polynome

Erfahre, wie du bestimmen kannst, ob eine Polynomfunktion gerade, ungerade oder keins von beiden ist.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Eine Funktion ist eine gerade Funktion , wenn ihr Graph symmetrisch bezogen auf die $y$ yy-Achse ist.

Algebraisch ist $f$ ff eine gerade Funktion, wenn gilt $f(-x)=f(x)$ f(−x)=f(x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis für alle $x$ xx.

Eine Funktion ist eine ungerade Funktion , wenn ihr Graph bezogen auf den Ursprung symmetrisch ist.

Algebraisch ist $f$ ff eine ungerade Funktion, wenn gilt $f(-x)=-f(x)$ f(−x)=−f(x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis für alle $x$ xx.

Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zur Symmetrie von Funktionen anzuschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

Du lernst anhand der Polynomialgleichung zu bestimmen, ob ein Polynom gerade, ungerade oder keins von beiden ist.

Untersuchung: Symmetrie von Monomen

Ein Monom ist ein Polynom mit nur einem Term. Monome haben die Form $f(x)=ax^n$ f(x)=axnf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript , wobei $a$ aa eine reelle Zahl und $n$ nn eine ganze Zahl größer oder gleich $0$ 00 ist.

In dieser Untersuchung werden wir die Symmetrie von mehreren Monomen analysieren, um zu sehen, ob wir allgemeine Bedingungen für ein Monom finden können, um zu entscheiden ob es gerade oder ungerade ist.

Um zu bestimmen, ob eine Funktion $f$ ff gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist, analysieren wir im Allgemeinen den Term für $f(-x)$ f(−x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:

Wenn $f(-x)$ f(−x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis das gleiche ist wie $f(x)$ f(x)f, left parenthesis, x, right parenthesis, dann wissen wir, dass $f$ ff gerade ist.
Wenn $f(-x)$ f(−x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis die Gegenzahl ist von $f(x)$ f(x)f, left parenthesis, x, right parenthesis, dann wissen wir, dass $f$ ff ungerade ist.
Sonst ist sie weder gerade noch ungerade.

Als erstes Beispiel wollen wir bestimmen, ob $f(x)=4x^3$ f(x)=4x3f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed gerade, ungerade oder keins von beiden ist.

$\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\\\&=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\\\&=-4x^3&&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\\\\&=-f(x)&&\small{\gray{\text{Since $f(x)=4x^3$}}}\\\end{aligned}$ f(−x)=4(−x)3=4(−x3)=−4x3=−f(x)(−x)3=−x3VereinfacheSincef(x)=4x3

Hier ist $f(-x)=-f(x)$ f(−x)=−f(x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, und daher ist die Funktion $f$ ff eine ungerade Funktion.

[Ich möchte den Graph sehen, um zu überprüfen, ob f wirklich ungerade ist.]

Probiere nun einige Beispiele aus, um herauszufinden, ob du ein Muster finden kannst.

1) Ist $g(x)=3x^2$ g(x)=3x2g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared gerade, ungerade oder keins von beiden?

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Gerade
(Auswahl B)
Ungerade
(Auswahl C)
Weder gerade noch ungerade

[Ich benötige Hilfe!]

2) Ist $h(x)=-2x^5$ h(x)=−2x5h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript gerade, ungerade oder keins von beiden?

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Gerade
(Auswahl B)
Ungerade
(Auswahl C)
Weder gerade noch ungerade

[Ich benötige Hilfe!]

Die Untersuchung abschließen

Aus den Aufgaben oben sehen wir, dass, wenn $f$ ff eine monomiale Funktion von geradem Grad ist, dann ist die Funktion $f$ ff eine gerade Funktion. In ähnlich Weise ist, wenn $f$ ff eine monomiale Funktion von ungeradem Grad ist, dann ist die Funktion $f$ ff eine ungerade Funktion.

	Gerade Funktion	Ungerade Funktion
Beispiele	$g(x)=3x^\purpleC2$ g(x)=3x2g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript	$h(x)=-2x^\greenD5$ h(x)=−2x5h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Allgemein	$f(x)=ax^{\purpleC n}$ f(x)=axnf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript wobei $n$ nn $\purpleC{\text{gerade}}$ geradestart color #aa87ff, start text, g, e, r, a, d, e, end text, end color #aa87ff ist	$f(x)=ax^{\greenD n}$ f(x)=axnf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript wobei $n$ nn $\greenD{\text{ungerade}}$ ungeradestart color #1fab54, start text, u, n, g, e, r, a, d, e, end text, end color #1fab54 ist

Dies liegt daran, dass $(-x)^n=x^n$ (−x)n=xnleft parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript, wenn $n$ nn gerade ist und $(-x)^n=-x^n$ (−x)n=−xnleft parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript, wenn $n$ nn ungerade ist.

Das ist wahrscheinlich der Grund, warum gerade und ungerade Funktionen überhaupt erst so genannt wurden!

Untersuchung: Symmetrie von Polynomen

In dieser Untersuchung werden wir die Symmetrie von Polynomen mit mehr als einem Term untersuchen.

Beispiel 1: $f(x)=2x^4-3x^2-5$ f(x)=2x4−3x2−5f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Um festzustellen, ob $f$ ff gerade, ungerade oder kein´s von beiden ist, bestimmen wir $f(-x)$ f(−x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.

$\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\\\&=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ falls $n$ gerade ist}}}\\\\&=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\\\\&=f(x)&&\small{\gray{\text{Da } f(x)=2x^4-3x^2-5}}\end{aligned}$ f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5=2x4−3x2−5=f(x)(−x)n=xnfallsngeradeistVereinfacheDaf(x)=2x4−3x2−5

Da $f(-x)=f(x)$ f(−x)=f(x)f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ist, ist die Funktion $f$ ff eine gerade Funktion.

Beachte, dass alle Terme von $f$ ff einen geraden Grad haben.

Beispiel 2: $g(x)=5x^7-3x^3+x$ g(x)=5x7−3x3+xg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Wir beginnen erneut mit dem Bestimmen von $g(-x)$ g(−x)g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.

$\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\\\&=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ falls $n$ ungerade ist}}}\\\\&=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\\\end{aligned}$ g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)=−5x7+3x3−x(−x)n=−xnfallsnungeradeistVereinfache

Beachte an dieser Stelle, dass jeder Term bei $g(-x)$ g(−x)g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis die Gegenzahl von jedem Term bei $g(x)$ g(x)g, left parenthesis, x, right parenthesis ist. Mit anderen Worten, $g(-x)=-g(x)$ g(−x)=−g(x)g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis und daher ist $g$ gg eine ungerade Funktion.

Beachte, dass alle Terme von $g$ gg einen ungeraden Grad haben.

Beispiel 3: $h(x)=2x^4-7x^3$ h(x)=2x4−7x3h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Bestimmen wir $h(-x)$ h(−x)h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.

$\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\\\&=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ und } (-x)^3=-x^3}}\\\\&=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Vereinfache}}}\\\\\end{aligned}$ h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)=2x4+7x3(−x)4=x4und(−x)3=−x3Vereinfache

$2x^4+7x^3$ 2x4+7x32, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed ist nicht das Gleiche wie $h(x)$ h(x)h, left parenthesis, x, right parenthesis, noch ist es das Gegenteil von $h(x)$ h(x)h, left parenthesis, x, right parenthesis.

Mathematisch sind $h(-x)\neq h(x)$ h(−x)=h(x)h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis und $h(-x)\neq -h(x)$ h(−x)=−h(x)h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis und damit ist $h$ hh weder gerade noch ungerade.

Beachte, dass $h$ hh einen Term mit geradem Grad und einen Term mit ungeradem Grad hat.

Die Untersuchung abschließen

Im Allgemeinen können wir bestimmen, ob ein Polynom gerade, ungerade oder keins von beidem ist, indem wir jeden einzelnen Term untersuchen.

$\phantom{x}$ xempty space	Allgemeine Regel	Beispiel-Polynom
Gerade	Ein Polynom ist gerade, wenn jeder Term eine gerade Funktion ist.	$f(x)=2x^4-3x^2-5$ f(x)=2x4−3x2−5f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
Ungerade	Ein Polynom ist ungerade, wenn jeder Term eine ungerade Funktion ist.	$g(x)=5x^7-3x^3+x$ g(x)=5x7−3x3+xg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
Weder noch	Ein Polynom ist weder gerade noch ungerade, wenn es sich aus geraden und ungeraden Funktionen zusammensetzt.	$h(x)=2x^4-7x^3$ h(x)=2x4−7x3h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Ist $f(x)=-3x^4-7x^2+5$ f(x)=−3x4−7x2+5f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 gerade, ungerade oder keins von beiden?

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Gerade
(Auswahl B)
Ungerade
(Auswahl C)
Weder gerade noch ungerade

[Ich benötige Hilfe!]

4) Ist $g(x)=8x^7-6x^3+x^2$ g(x)=8x7−6x3+x2g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared gerade, ungerade oder keins von beiden?

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Gerade
(Auswahl B)
Ungerade
(Auswahl C)
Weder gerade noch ungerade

[Ich benötige Hilfe!]

5) Ist $h(x)=10x^5+2x^3-x$ h(x)=10x5+2x3−xh, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x gerade, ungerade oder keins von beiden?

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Gerade
(Auswahl B)
Ungerade
(Auswahl C)
Weder gerade noch ungerade

[Ich benötige Hilfe!]

Symmetrie von Polynomen (Artikel) | Polynome | Khan Academy (2023)

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Untersuchung: Symmetrie von Polynomen

Beispiel 1: f(x)=2x4−3x2−5f(x)=2x^4-3x^2-5f(x)=2x4−3x2−5f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Beispiel 2: g(x)=5x7−3x3+xg(x)=5x^7-3x^3+xg(x)=5x7−3x3+xg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Beispiel 3: h(x)=2x4−7x3h(x)=2x^4-7x^3h(x)=2x4−7x3h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

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Beispiel 1: $f(x)=2x^4-3x^2-5$ f(x)=2x4−3x2−5f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Beispiel 2: $g(x)=5x^7-3x^3+x$ g(x)=5x7−3x3+xg, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Beispiel 3: $h(x)=2x^4-7x^3$ h(x)=2x4−7x3h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed